Отрицательные числа, их свойства и выражения с ними
Когда мы считаем что-то, то пользуемся натуральными числами. Например, сначала отрезаем от торта один кусок, затем другой и получаем уже 2 маленьких куска торта. Или собираем в саду яблоки, срывая одно яблоко, затем еще одно, и уже имеем 2 яблока. При этом мы прибавляем одно число к другому, то есть пользуемся сложением. Если же аналогичным образом использовать вычитание, то в определенный момент мы столкнемся со множеством отрицательных чисел.
«Бери и Делай» объясняет, что такое отрицательные числа, какими отличительными свойствами они обладают и о чем полезно знать при работе с ними.
Что такое отрицательное число
На первый взгляд кажется, что отрицательные числа вряд ли нужны нам в жизни. Но зайдите в лифт крупного торгового центра, и вы наверняка увидите там этажи с парковками, которые чаще всего располагаются под землей и обозначаются как «−1-й этаж», «−2-й этаж» и так далее.
Отрицательные числа есть и на уличном градуснике: когда за окном холодно и вода замерзает, превращаясь в лед, столбик термометра опускается ниже нулевой отметки, показывая, что на улице минусовая температура.
Из этого можно сделать вывод, что отрицательные числа начинаются за нулевой чертой. Для лучшего понимания нарисуем числовую прямую.
![](https://wl-beridelai.cf.tsp.li/resize/728x/jpg/7d5/bd5/5f8e605d0ebf49a955b603fa7f.jpg)
На листе бумаги в клетку нарисуйте линию. На ней поставьте точку отсчета, обозначающую 0. Теперь отступите от нее вправо на 1 см (2 клетки) и сделайте еще одну отметку. Подпишите ее как число 1. Аналогичным образом справа можно расположить остальные числа по порядку вплоть до бесконечности. Значения всех этих чисел больше 0, и их называют положительными числами. Иногда рядом с такими числами ставят плюс, поэтому +1 = 1, а 1 = +1.
![](https://wl-beridelai.cf.tsp.li/resize/728x/jpg/1e0/14e/f0e3b9595daea70e9446f10d46.jpg)
Если двигаться в левую сторону, то мы обнаружим числа, чье значение меньше 0. Поэтому их называют отрицательными числами и ставят рядом с ними минус. При этом −1 не равняется 1. Отрицательные числа располагаются симметрично по отношению к положительным числам, а ноль не относится ни к одним, ни к другим.
Если ноль — это ничто, как может быть что-то меньшее, чем ничто? Ноль — это еще и точка отсчета, которая разделяет числа на числовой прямой. При этом добавление отрицательных чисел расширяет возможности счета. Представим, что на банковской карте было 100 рублей. После похода в магазин ее баланс стал равняться −100 рублям. Сколько денег нужно положить на счет карты, чтобы ее баланс снова стал положительным и равнялся 100 рублям? Если добавить только 100 рублей, то мы избавимся от отрицательного числа и баланс будет равен 0. Если добавить еще 100 рублей, то баланс вновь станет положительным и будет равен +100 рублям.
Это все станет ясно, если вы посмотрите на числовую прямую. Для каждого натурального числа существует одно и только одно отрицательное число, которое дополняет его до 0. Если к числу −100 прибавить 100, то получится 0. Если к 100 прибавить −100, то результат будет аналогичным. Из этого можно сделать следующие выводы:
- (−a) + (+a) = 0
- (−a) + 0 = (−a)
- − (−a) = a
Как сравнивать отрицательные числа
![](https://wl-beridelai.cf.tsp.li/resize/728x/jpg/57c/52e/86b0b85bc0abcc1e80b2e9bc4b.jpg)
Все отрицательные числа, как и положительные, располагаются на числовой прямой в определенном порядке. Это позволяет сравнивать их между собой. Но есть определенные особенности: одно положительное число больше другого, если оно фактически располагается от него дальше в правую сторону. Другими словами, число 3 больше 2, потому что находится правее. С отрицательными числами все немного иначе: число −3 меньше −2, потому что находится левее на числовой прямой.
Арифметические действия с отрицательными числами
![](https://wl-beridelai.cf.tsp.li/resize/728x/jpg/4dd/448/c901b3520eb0053bf57206ebe1.jpg)
Знак, стоящий перед числом, необходимо учитывать, так как от этого зависит результат.
- При сложении 2 положительных чисел в результате всегда получается положительное число. Пример: 2 + 3 = 5.
- При сложении 2 отрицательных чисел в результате всегда получается отрицательное число. Пример: (−2) + (−3) = (−5). Чтобы понять, почему так происходит, вспомните числовую прямую: если к −2 мы добавим еще −3, то уйдем еще левее до −5.
![](https://wl-beridelai.cf.tsp.li/resize/728x/jpg/a00/ecb/0b3ab35d3496281f1927c90222.jpg)
- При сложении положительного и отрицательного чисел, если положительное число представляет собой число с большей абсолютной величиной, результатом будет положительное число. Пример: 5 + (−3) = 2. Фактически из 5 мы вычитаем 3, поэтому в результате получаем 2.
- При сложении положительного и отрицательного чисел, если отрицательное число представляет собой число с большей абсолютной величиной, результатом будет отрицательное число. Пример: 5 + (−10) = (−5). Фактически мы прибавляем к −10 число 5, поэтому в результате получаем −5.
Совет: Возможно, вам будет легче, если вы вспомните правила расстановки знаков после снятия скобок. Например, (+5) + (−3) = 5 − 3 = 2. Или (+5) + (−10) = 5 − 10 = (−5).
![](https://wl-beridelai.cf.tsp.li/resize/728x/jpg/15d/e9f/3c18f5522991ab8c3e41118479.jpg)
- Так как вычитание — это действие, противоположное сложению, то тогда, чтобы из одного числа вычесть другое, нужно к уменьшаемому прибавить число, противоположное вычитаемому. Пример: (−2) − (+5) = (−2) + (−5) = (−7). Или 5 − (−2) = 5 + (+2) = 7.
Где на практике с этим можно столкнуться? Представьте, что на улице была температура −2 °C, а сейчас она понизилась еще на 10 °C. Какая температура теперь на улице? Фактически вам нужно из −2 вычесть 10 или к −2 прибавить −10. И тогда в результате получится −12 °C.
![](https://wl-beridelai.cf.tsp.li/resize/728x/jpg/6ae/98d/55f12f5da7b6ed3533c743f7ba.jpg)
- При умножении и делении чисел действует правило знаков: произведение или частное чисел с разными знаками отрицательно, а с одинаковыми — положительно. При этом в делении и умножении участвуют фактически модули чисел. Другими словами, (−а) × (−b) = a × b.
Где на практике можно с этим столкнуться? К примеру, муж и жена залезли в долги. У каждого по 100 рублей долга. Чему равен их общий долг? Для этого нужно сложить оба долга: (−100) + (−100). Или же можно просто умножить 1 долг на 2: (−100) × 2. В результате получается −200 рублей. Так как речь идет о долге, то перед числом в результате стоит минус.
- Если нужно возвести число в отрицательную степень, «переверните» выражение, записав его в виде дроби с единицей в числителе и с исходным числом в степени в знаменателе. Саму степень замените на положительную, после чего возведите число в положительную степень. Пример: a−n = 1/an.